les techniques de gestion de production

Dans le cadre d’une organisation taylorienne de la production, trois questions se posent en permanence.

• Combien faut-il produire pour répondre à la demande en tenant compte des contraintes techniques de fabrication ? Les méthodes de programmation linéaire et de simplexe permettent d’y répondre.
• Combien faut-il commander et stocker de matières premières pour satisfaire la demande prévue ? Le calcul des besoins en composants donne la réponse.
• Comment et combien faut-il charger les ateliers, les machines, les capacités humaines pour que la production corresponde aux besoins ? Les méthodes de chargement gèrent les goulots d’étranglement.

Voici les principales techniques de gestion de production :

La programmation linéaire

La programmation linéaire est une technique qui permet de répondre à l’interrogation suivante : le programme des ventes déterminé en amont par les services commerciaux permet-il de saturer les contraintes productives et cela de façon optimale en termes de résultat attendu ?

Sous cette forme, le problème a deux aspects qui seront envisagés successivement :

Lire Aussi: Calcul de la valeur actuelle nette (VAN)

• assurer, si possible, le plein emploi des capacités productives (c’est-à-dire les équipements et la majeure partie de la main-d’œuvre) ;
• choisir une combinaison productive de produits qui maximise la rentabilité.

Élaboration d’un programme de production pour assurer le plein emploi des ateliers

L’illustration de cet outil sera envisagée dans le cadre d’un exemple d’entreprise de l’industrie mécanique.

Exemple applicatif 1

Lire Aussi: Accurate Cost Estimation in Project Management

Soit une entreprise de construction mécanique qui produit trois types de roulement : R1, R2 et R3. Les trois types de roulement passent successivement dans trois ateliers. Leurs temps de passage en heures et par atelier sont donnés dans le tableau ci-après :

Pour des impératifs commerciaux, la production des roulements R3 est fixée à 200 unités.

Existe-t-il un programme de production qui assure le plein emploi des capacités ? En cas de réponse négative, quel programme choisir ?

Lire Aussi: Comment gérer les attentes des parties prenantes dans un projet

Les contraintes peuvent être mises en équation, en prenant pour acquis la vente et la production de 200 R3. Le choix se situe donc entre les produits R1 et R2.

Ces différentes contraintes peuvent être rapportées sur un graphique.

Équations des contraintes :

• atelier A1 → 4R1 + 2R2 + R3 ≤ 2600 d’où 4R1 + 2R2 ≤ 2 600 – (200 R3 × 1) soit 2 400
• atelier A2 → 3R1 + 3R2 ≤ 2 500 – (200 R3 × 2) soit 2 100
• atelier A3 → 2R1 + 5R2 ≤ 3 000 – (200 R3 × 3) soit 2 400

Démarche générale

Chaque contrainte partage le plan en trois zones :

• la droite elle-même qui représente toutes les combinaisons de produits qui saturent la contrainte ;
• une zone en dessous de la contrainte : les combinaisons de cette partie du plan respectent la contrainte mais n’assurent pas le plein emploi de ses capacités ;
• la partie supérieure du plan : les combinaisons de produits sont inacceptables puisqu’elles nécessitent plus de facteurs de production que l’on en dispose.

Pour assurer le plein emploi simultané des contraintes productives, il faut rechercher la ou les combinaison(s) productive(s) qui saturent toutes les contraintes concernées.

exemple applicatif 1 (suite)

L’ensemble des contraintes définit un polygone de combinaisons acceptables ABCD0. Aucun point de ce domaine ne permet de saturer toutes les contraintes de production.

Seuls les points B et C assurent le plein emploi de deux des trois contraintes de production.

Solution B : intersection de l’atelier A2 et de l’atelier A3, sous-activité de l’atelier A.

Il suffit de résoudre le système d’équation suivant pour obtenir la combinaison de produits :

3R1 + 3R2 = 2 100
2R1 + 5R2 = 2 400

et on obtient 367 R1 et 333 R2.

L’atelier A1 est en sous-emploi de :

2400 – (367 R1 × 4) – (333 R2 × 2) = 266 heures

Solution C : intersection de l’atelier A1 et A2, l’atelier 3 est en sous-activité.

Sur le graphique, on lit la combinaison de produits soit 500 R1 et 200 R2.

L’atelier A3 est en chômage pour :
2400 – (500 R1 × 2) – (200 R2 × 5) = 400 heures

Démarche générale

À cette étape du raisonnement, le choix doit se faire entre le coût relatif du chômage de chaque atelier.

Il intégrera le montant des charges fixes spécifiques mais également les possibilités d’obtenir des travaux de sous-traitance sur les ateliers en sous-activité afin de réduire cette dernière.

Compte tenu des résultats précédents, l’entreprise peut également chercher des solutions qui permettent d’augmenter les capacités des ateliers :

• recours aux heures supplémentaires ;
• organisation différente du travail : travail sur trois équipes au lieu de deux ;
• réallocation des matériels (lorsque c’est possible) entre ateliers en sous-activité et ceux à qui ils manquent des capacités.

Dans les cas envisagés précédemment, c’est l’atelier A2 qui limitait la production et obligeait au sous-emploi des autres ateliers : on qualifie cette situation de goulot d’étranglement.

Exemple applicatif 1 (suite)

L’entreprise décide d’affecter des capacités supplémentaires pour obtenir le plein emploi de ces trois ateliers.

Dans cette perspective, elle choisit la combinaison productive représentée par le point M du graphique qui correspond à 450 R1 et 300 R2 (chiffres lus sur le graphique).

L’atelier A2 devrait disposer d’une capacité de : (450 R1 × 3) + (300 R2 × 3) = 2 250 heures

Si l’entreprise veut choisir cette solution, elle doit affecter une capacité supplémentaire de 150 heures (2 250 – 2 100) à l’atelier A2.

Recherche de la solution optimale en termes de rentabilité

Toutes ces possibilités ont été envisagées sans l’aspect pécuniaire. Mais les choix de l’entreprise ne peuvent s’effectuer sans référence aux coûts des ateliers ni à la rentabilité des différents produits.

Reprenons le cas de l’entreprise de construction mécanique.

Exemple applicatif 2

Supposons que les produits R1,R2 et R3 dégagent respectivement une marge sur coûts variables de 160, 140 et 50 euros.

La solution optimale est celle qui maximise la marge sur coût variable globale.

C’est-à-dire : MAX F = 160 R1 + 140 R2

La fonction ainsi définie est appelée Fonction économique du programme. Elle peut s’écrire aussi :

R2 = – 1,15 R1 + MAX F

Sous cette forme, la fonction économique est une fonction de la forme ax + b et MAX F est une constante qu’il faut maximiser tout en respectant les contraintes de l’entreprise. Cela revient à chercher la droite de pente égale à – 1,15 et dont l’ordonnée à l’origine est maximum. Il existe une méthode graphique pour choisir la solution optimale.

Reprenons le graphique précédent.

La marge sur coût variable globale dégagée est de : (160 € × 500 R1) + (140 € × 200 R2) = 108 000 €.

Démarche générale

La fonction économique (F) doit être représentée au point 0. Il existe toute une famille de droites parallèles à la droite F et qui possèdent des ordonnées à l’origine de plus en plus élevées dès que l’on se déplace vers le haut du graphique.

Le déplacement sur le graphique d’une droite parallèle à la droite tracée permet de déterminer directement le point d’intersection entre le polygone des solutions acceptables et la fonction économique : ce point est celui de la solution optimale. Ici, il s’agit du point C représentant une combinaison de 500 R1 et de 200 R2.

Remarque : La solution graphique est praticable dans le cas de deux produits car elle conduit à des représentations géométriques simples. Dès que le nombre de produits s’accroît, il faut avoir recours aux techniques du simplexe pour résoudre ce type de
problème.

La méthode du simplexe

La résolution graphique est inapplicable au-delà de deux variables. Aussi est-il nécessaire de recourir à une autre méthode : la méthode du simplexe, dite également méthode des tableaux ou méthode de Dantzig.

Cette méthode, applicable quel que soit le nombre de variables, n’est présentée dans ce cours que pour des problèmes de maximisation dont les contraintes (autres que celles de positivité) sont de type ≤.

Exemple applicatif 3

Problème de maximisation comportant trois variables.

Une entreprise Belge fabrique trois modèles de meubles : classique, rustique, moderne. Les standards unitaires de production sont résumés dans le tableau suivant :

	Modèle classique	Modèle rustique	Modèle moderne	Capacités maximales
Bois Main-d’œuvre Centre finition Marges sur coûts variables	5 1 2 1 000	8 2 2 960	5 3 0 1 200	900 516 200

L’entreprise Belge souhaite déterminer les quantités à produire pour maximiser son résultat.

Forme canonique de ce programme :
Soit :

x, nombre de modèles classiques à produire,
y, nombre de modèles rustiques à produire,
z, nombre de modèles modernes à produire.

1. Mise sous forme standard

La méthode du simplexe nécessite de poser dans un premier temps la forme standard du problème à résoudre : les inégalités sont transformées en égalités grâce à l’introduction de variables d’écarts positives ou nulles, notées e_i.

Il y a une variable d’écart pour chaque contrainte autre que contrainte de positivité.

Écart entre la capacité et la consommation du facteur bois pour une production de x, y, z. Cet écart permet l’égalité entre les deux membres.

Exemple applicatif 3 (suite)

Mise sous forme standard

Remarque

Sous la forme standard, la fonction objectif est inchangée et pourrait être notée Max (1 000 x 960 y + 1 200 z + 0 e1 + 0 e2 + 0 e3) et mais surtout pas Max (1 000 x + 960 y + 1 200 z + e1 + e2 + e3).

2. Interprétation d’un tableau

Pour rechercher la solution optimale, les calculs sont présentés dans des tableaux en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Quel que soit le tableau :

Les variables hors-base sont égales à zéro.

La valeur des variables dans la base est lue dans la colonne B.

L’optimum est atteint si tous les coefficients de la dernière ligne sont négatifs ou nuls.

Exemple applicatif 3 (suite)

Solution de départ : premier tableau

Le premier tableau reprend les coefficients de la forme standard.

Interprétation du tableau :

• Il s’agit de la solution admissible de départ qui respecte toutes les contraintes : ne rien produire.
• La production est donc nulle (x = 0 ; y = 0 ; z = 0) et la valeur de la fonction objectif est égale à 0.
• Les capacités disponibles des facteurs sont intactes (ainsi e₁ = 900 signifie qu’il reste 900 unités de bois).
• Cette solution peut être améliorée puisque les coefficients de la ligne F ne sont pas négatifs ou nuls.

3. Détermination du pivot

• La variable qui entre dans la base est celle dont le coefficient positif de la dernière ligne est le plus grand.
• La variable qui sort de la base est celle dont la résultante (R) positive est la plus petite. La résultante est la production maximale sous contrainte de chaque facteur de production.
• Le pivot est situé à l’intersection de la variable entrante et de la variable sortante.

Exemple applicatif 3 (suite)

Détermination du pivot

• Pour améliorer la solution de base, il faut commencer à produire. L’étude des marges sur coûts variables indique qu’il est préférable de commencer par les produits z (marge égale à 1 200, contre 1 000 pour x et 960 pour y).

• Compte tenu des contraintes à respecter simultanément, la production maximale de produits z est contrainte à 172 :

Pour respecter les contraintes, il n’est donc possible de produire que 172 z.

• Pour déterminer le pivot, une colonne résultante (R) est ajoutée au tableau précédent pour déterminer le pivot. Cette colonne est à présenter après avoir constaté que l’optimum n’est pas atteint et exprime le raisonnement qui vient d’être présenté.

Détermination du pivot du premier tableau

4. Progression jusqu’à la solution optimale

Pour élaborer un nouveau tableau, les étapes suivantes sont à respecter :

• La variable qui entre en base prend la place de celle qui sort.
• Il convient de diviser la ligne du pivot du tableau qui précède par le pivot. Cette ligne est alors désignée par L’p dans le deuxième tableau, L’’p dans le troisième…
• Les autres lignes peuvent alors être déterminées à l’aide des coefficients de la colonne de la variable qui entre dans la base du tableau qui précède et de la ligne du pivot du tableau en cours.

Exemple applicatif 3 (suite)

• Structure du deuxième tableau et détermination de la ligne L’p

La variable entrée en base a pris la place de celle qui est sortie. Il convient de diviser la ligne du pivot du tableau qui précède par le pivot : L’2 = L’p = L1/3

• Les autres lignes peuvent alors être déterminées :

L’1 = L1 – 5 L’p
L’3 = L3 – 0 L’p
L’4 = L4 – 1 200 L’p

La valeur de F est lue au signe près dans la dernière cellule

Détail de L’1 et de L’4 :

10/3 = 5 – (5 × 1/3) 14/3 = 8 – (5 × 2/3) 0 = 5 – (5 × 1) 1 = 1 – (5 × 0) – 5/3 = 0 – (5 × 1/3) 0 = 0 – (5 × 0) 40 = 900 – (5 × 172)

600 = 1 000 – (1 200 × 1/3) 160= 960 – (1 200 × 2/3) 0 = 1 200 – (1 200 × 1) 0 = 0 – (1 200 × 0) – 400 = 0 – (1 200 × 1/3) 0 = 0 – (1 200 × 0) – 206 400 = 0 – (1 200 × 172)

• Interprétation du deuxième tableau

Les variables hors base sont nulles : x = y = e₂ = 0.

Les variables en base sont : e₁ = 40, z = 172 et e₃ = 200.

• La production est donc égale à 172 produits z.

• La deuxième contrainte est saturée (e₂ = 0), la capacité disponible de la contrainte 1 est de 40 unités (e₁ = 40) et la capacité disponible de la contrainte 3 est de 200 unités (e₃ = 200).

• L’objectif est égal à 206 400 euros.

• Cette solution peut être améliorée puisque les coefficients de la ligne F ne sont pas négatifs ou nuls.

• Il est possible de vérifier cette solution :

• Détermination du pivot

Tant que la solution optimale (tous les coefficients de la dernière ligne négatifs ou nuls) n’est pas atteinte, la progression suit les mêmes étapes.

• Structure du troisième tableau et détermination de la ligne L’’p

La variable qui entre en base prend la place de celle qui est sortie. Il convient de diviser la ligne du pivot du tableau qui précède par le pivot : L’’1 = L’’p = L’1/(10/3)

• Les autres lignes peuvent alors être déterminées

L’’2 = L’2 – (1/3) L’’p
L’’3 = L’3 – 2 L’’p
L’’4 = L’4 – 600 L’’p

• Interprétation du troisième (et dernier) tableau

Les variables hors base sont nulles : y = e₁ = e₂ = 0.

Les variables en base sont : x = 12, z = 168 et e₃ = 176.

• Il s’agit de la solution optimale puisque tous coefficients de la dernière ligne (ou taux marginaux de substitution) sont négatifs ou nuls.
• La solution optimale est la production de 12 modèles classiques, 0 modèle rustique et 168 modèles modernes pour une marge sur coûts variables maximale de 213 600 euros.
• Les contraintes relatives à la main-d’œuvre et au bois sont saturées, et il reste une capacité de 176 unités pour le centre finition.
• Il est possible de vérifier cette solution :

Le cas du facteur rare de production

Il existe un cas particulier : le facteur rare de production. Une forme canonique présente un cas de facteur rare quand une seule des contraintes est commune à toutes les variables.

La résolution se fait avec un raisonnement presque intuitif : en privilégiant d’abord les produits dont la marge sur coût variable par unité de facteur rare consommée est la plus importante.

Exemple applicatif 4

une société canadienne fabrique trois produits A, B, C dont les caractéristiques sont les suivantes :

	A	B	C
Marge sur coûts variables Atelier (Capacité 8 500 uo) Ventes maximales	100 2 uo 1 000	300 4 uo 1 000	360 6 uo 500

Remarque : uo = unité d’œuvre.

Elle souhaite déterminer son programme optimal de production

Forme canonique

Il s’agit d’un problème de « facteur rare » : l’atelier est la seule ressource commune qui contraint la production.

Résolution

Le problème peut être résolu par l’algorithme du simplexe. Cependant, il est plus rapide, dans ce cas particulier, de classer les produits en fonction de la marge générée par unité d’œuvre consommée :

	A	B	C
Marge sur coûts variables Atelier (2)	100 2 uo	300 4 uo	360 6 uo
Marges par unité d’œuvre (1)/(2) Classement des produits 3 1 2	50 3	75 2	60 1

Dans un premier temps, il faut produire le maximum de produits B, soit B = 1 000. La consommation du facteur rare est égale à : 4 × 1 000 = 4 000 unités d’œuvre. La capacité disponible du facteur rare devient égale à : 8 500 – 4 000 = 4 500 unités d’œuvre.

Dans un deuxième temps, il faut produire le maximum de produits C, compte tenu de la capacité disponible, soit C = 500.

La consommation du facteur rare est égale à : 6 × 500 = 3 000 unités d’œuvre.

La capacité disponible du facteur rare devient égale à : 4 500 – 3 000 = 1 500 unités d’œuvre.

Enfin, il faut produire le maximum de produits A, compte tenu de la capacité disponible, soit A = 1 500/2 = 750.

La consommation du facteur rare est égale à : 2 × 750 = 1 500 unités d’œuvre.

Le facteur rare est alors saturé.

La combinaison optimale est donc : A = 750, B = 1 000 et C = 500.

La marge sur coûts variables correspondante est égale à : 75 000 + 300 000 + 180 000 = 555 000 €

Il est possible de vérifier la solution par l’algorithme du simplexe.

L’emploi de ces méthodes permet, à court terme, d’ajuster les prévisions des ventes et les capacités de production de l’entreprise.

Ces choix définis, il est nécessaire de répartir les charges de travail dans le temps et l’espace mais auparavant il faut calculer les besoins en composants.

Calcul des besoins en composants

Le calcul des besoins en composants ou PBC (planification des besoins en composants) correspond à la gestion des stocks de matières premières nécessaires à la production. Ce calcul s’insère dans un système plus large de gestion de la production : le MRP (Management Resources Planning).

Le MRP est un système de pilotage par l’amont du processus de production.

Il s’organise selon le schéma suivant :

Le plan industriel et commercial est «élaboré par familles de produits». Il représente un calendrier des ventes et du niveau des stocks sur une période variable suivant la durée du cycle de fabrication mais qui dépasse souvent le cadre annuel de la gestion budgétaire.

Cette solution reste valable tant que les capacités de production et les marges générées par les produits restent inchangées.

Il s’appuie sur la relation suivante :

Production prévisionnelle = Vente prévisionnelles + Niveau de stock actuel × Vente prévisionnelles

Le programme directeur de production est la traduction en termes de produits ou de sous-ensembles du plan précédent. Il rassemble l’ensemble des demandes sur la production (un même sous-ensemble peut servir à plusieurs produits) et établit un échéancier des productions à effectuer. Son horizon est la semaine, voire le jour. Il doit être compatible avec les capacités usines et répondre aux prévisions commerciales.

Le calcul des besoins précise pour chaque élément les besoins en quantités de tous les articles achetés ou réalisés par l’entreprise ainsi que les dates de fabrication ou d’approvisionnement.

Le calcul des charges analyse les postes de travail en capacité et gère les flux entrant et sortant dans chaque atelier. Il permet aux gestionnaires de repérer les goulots d’étranglement.

Les contrôles d’exécution ordonnancent la charge de travail entre les postes une fois les problèmes de sous ou sur capacité réglés. Il planifie les priorités en termes d’ordres de fabrication.

Le principe du calcul des besoins en composants

Chaque produit est composé d’ensembles, de sous-ensembles et de pièces. Ce sont ces composants de base que les services de production doivent usiner. Le programme prévisionnel des ventes exprimées en nombre de produits doit être transcrit en éléments de base dont la charge de travail est à répartir dans le temps et l’espace.

L’ensemble des éléments constitutifs du produit ainsi que la nature et la durée de l’opération qu’ils supportent forme une nomenclature. Courtois illustre cette décomposition dans le cas simplifié d’une valise.

De façon générale, la fabrication d’un produit est composée de phases d’usinage et d’assemblage. Chaque étape de fabrication est caractérisée par :

• un élément (ensemble, sous-ensemble ou pièce),
• une opération qui s’effectue sur l’élément,
• une durée pour réaliser cette opération.

Ces éléments, caractéristiques d’une nomenclature, permettent de définir des besoins dépendants et des besoins indépendants.

• Les besoins indépendants sont constitués de pièces ou produits achetés en l’état à l’extérieur. La prévision de consommation de tels besoins repose uniquement sur une bonne prévision des ventes (exemple : dans le cas de la valise, les fermetures représentent un besoin indépendant).
• Les besoins dépendants sont constitués des sous-ensembles pièces et matières nécessaires aux produits finis. Pour de tels besoins, la prévision de consommation ne peut être obtenue que par calcul.

Un cas simplifié de calcul des besoins en composants

Exemple applicatif

Soit, pour un processus de fabrication par lots, les nomenclatures suivantes, pour 3 produits A, B et C.

Le carnet de commandes prévisionnelles pour les trois produits est le suivant :

Établir le modèle de calcul des besoins en composants correspondant à ces nomenclatures et calculer, pour le carnet de commandes donné, le nombre et la date de disponibilité des ensembles, des sous-ensembles, des pièces et des matières premières.

Le modèle de PBC consiste en une suite de multiplications de matrices qui indiqueront les quantités nécessaires et les dates (en mois) auxquelles ces quantités doivent être disponibles.

Soit M_N^P la matrice représentant le carnet de commandes.

• Calcul des besoins en ensembles (niveau 1 de nomenclature)

Compte tenu des commandes de janvier N, il faut : (1E₁ × 1A) + (1E₁ × 2B) + (2E₁ × 0C) = 3E₁

Le raisonnement est identique pour E₂ et E₃.

Le mois de disponibilité tient compte du délai d’assemblage des ensembles E₁ soit 3 mois.

Si la livraison doit être faite en janvier N, les ensembles E1, E2, E3 doivent être disponibles 3 mois plus tôt soit en octobre N–1

• Calcul des besoins en sous-ensembles (niveau 2 de nomenclature)

Le raisonnement est identique au précédent compte tenu d’un délai de 2 mois.

• Calcul des besoins en pièces (niveau 3 de nomenclature)

• Calcul des besoins en matières premières (niveau 4 de nomenclature)

Ainsi sont planifiés la production et les approvisionnements sur toute la durée du processus de fabrication soit 9 mois.

La validité des prévisions obtenues dépend de la connaissance des ventes futures et de la qualité des informations contenues dans la nomenclature.

Cette démarche est un modèle d’entreprise complet : il permet, en fait, à partir des prévisions des ventes ou du carnet de commandes de planifier l’ensemble de l’activité, de réserver des capacités, de gérer les stocks de composants et d’assurer leurs disponibilités aux dates nécessaires.

Sous réserve de données de coûts, il permet également de calculer les charges de trésorerie et les coûts complets standards par produit dès les prévisions de ventes.

Les besoins en composants calculés, il reste à envisager la gestion des goulots d’étranglement et d’équilibrage des charges, le point clé de la gestion de la production.

Les méthodes de chargement et les goulots d’étranglement

La notion de goulot d’étranglement est liée au concept de chargement des ateliers et à un manque de capacité pour satisfaire les besoins de fabrication répertoriés. Intéressons-nous d’abord aux problèmes de chargement des ateliers avant d’envisager l’allocation entre les différents produits en cas de sous-capacité.

Tableau de chargement des ateliers

Les points seront développés dans le cadre d’une application.

Exemple applicatif

Dans deux ateliers A1 et A2, trois produits X, Y et Z doivent être usinés.

Le temps (exprimé en heures) nécessaire à l’usinage de chacun des produits dans les ateliers est résumé dans le tableau suivant :

Les temps de chargement des différents postes de travail sont de 2 000 heures par an dans l’atelier A1 et de 2 100 heures par an dans l’atelier A2. Il faut compter 10 % pour les temps de réglage et de changement d’outil pendant lesquels les machines ne sont pas en état de marche.

Le nombre maximum de postes utilisables est de 20 pour l’atelier A1 et de 18 pour l’atelier A2.

Le budget des ventes prévoit 7 000 X, 6 000 Y et 4 000 Z.

Les lots de fabrication doivent respecter la proportion des ventes (hypothèse de production simultanée).

Établir un programme de chargement qui permet les ventes en quantités maximales.

Démarche générale

• Calcul des capacités nécessaires à la production maximale.
• Calcul des capacités disponibles.
• Ajustement entre le désirable et le possible.

Tableau provisoire des temps de chargement :

Intitulé	Atelier 1	Atelier 2
Calcul des capacités nécessaires Pour le produit X (7 000 × temps de fabrication) Pour le produit Y (6 000 × temps de fabrication) Pour le produit Z (4 000 × temps de fabrication)	7 000 (7 000 × 1) 18 000 (6 000 × 3) 8 000 (4 000 × 2)	7 000 (7 000 × 1) 12 000 (6 000 × 2) 20 000 (4 000 × 5)
Capacités nécessaires (A)	33 000	39 000
Calcul des capacités disponibles Temps de marche par poste de travail (temps de chargement × 0,90) Nombre de postes par atelier	1 800 × 20	1 890 × 18
Capacités disponibles (B)	36 000	34 020
Solde Excédent de capacités (B) – (A) Manque de capacités (A) – (B)	3 000	4 980
Taux de chargement (A)/(B)	0,916	1,146

L’atelier A2 a un taux de chargement supérieur à 1, ce qui n’est pas réaliste. Cet atelier présente un manque de capacité de 4 980 heures : il constitue un goulot d’étranglement. C’est lui qui limite la production possible.

Ajustement :

La contrainte de fabrication simultanée et dans la proportion donnée (7 X, pour 6 Y et 4 Z) définit une combinaison productive qui consomme, lors de son passage dans l’atelier A2 : (7 X × 1) + (6 Y × 2) + (4 Z × 5) = 39 heures

Dans les capacités disponibles de l’atelier A2, on peut avoir :

34 020 h/39 = 872 combinaisons de base et donc une fabrication de :

• 872 combin. × 7 X = 6 104 X arrondie à 6 100 unités,
• 872 combin. × 6 Y = 5 232 Y arrondie à 5 230 unités,
• 872 combin. × 4 Z = 3 488 Z arrondie à 3 480 unités.

Il est alors possible de présenter le tableau de chargement définitif :

Intitulé	Atelier 1	Atelier 2
Calcul des capacités nécessaires Pour le produit X (6 100 × tps de fabrication) Pour le produit Y (5 230 × tps de fabrication) Pour le produit Z (3 480 × tps de fabrication)	6 100 15 690 6 960	6 100 10 460 17 400
Capacités nécessaires (A)	28 750	33 960
Calcul des capacités disponibles	36 000	34 020
Solde excédent de capacité	7 250 heures	60 heures
Taux de chargement	0,80	≈ 1

Avec ce programme, les taux de chargement sont tous inférieurs ou égaux à 1 mais l’atelier A1 est en chômage pour 7 250 heures.

Goulot d’étranglement et choix des produits

Les programmes précédents ont été obtenus sans référence aux coûts et aux marges générés par les produits. La gestion optimale d’un goulot d’étranglement ne peut s’effectuer hors des éléments de prix.

Reprenons notre exemple en le complétant.

Exemple applicatif (suite)

Le contrôleur de gestion vous fournit les renseignements complémentaires suivants :

	X	Y	Z
Marge sur coût variable par produit 150 € 320 € 400	150 €	320 €	400 €

Il vous demande d’établir le programme de production qui génère la plus grande marge globale.

Démarche générale

Il s’agit de saturer les capacités de l’atelier qui constitue le goulot d’étranglement en produisant des quantités différentes de X, Y et Z. Il n’y a donc plus l’hypothèse de production simultanée.

L’élément « rare » n’est pas un des produits mais l’unité de facteur du goulot d’étranglement (ici, l’heure de marche des machines de l’atelier). Il faut donc utiliser ces heures à produire ce qui rapporte le plus, non pas en termes de produits mais en termes de marge par unité de facteur du goulot d’étranglement.

Exemple applicatif (suite)

Calcul de marge par heures de passage et par produit dans l’atelier A2.

	X	Y	Z
Marge sur coût variable par produit 150 € 320 € 400	150 €	320 €	400 €
Temps de passage par produit (en heures)	1	2	5
Marge sur coût variable horaire	150	160	80
Ordre de production	2	1	3

Le programme de production s’établit à :

Quantités de produits	Temps nécessaire	Temps disponible	Marge sur coût variable
6 000 Y 7 000 X 3 004 Z	6 000 Y 7 000 X 3 004 Z	34 020(1) 22 020 15 020 0	1 920 000 1 050 000 1 201 600
Marge sur coût variable globale			4 171 600

Ce programme assure une utilisation optimale des heures de l’atelier A2 et est compatible avec les capacités de l’atelier A1. Il est facile de vérifier que le nombre d’heures de fonctionnement dans cette hypothèse s’élève à 31 008 heures pour A1 et donne un taux de chargement inférieur (0,86 au lieu de 0,92 précédemment)

Conclusion

Tous ces calculs doivent permettre d’harmoniser les prévisions des ventes et le programme de production afin de pouvoir envisager les conséquences budgétaires des choix précédents, et, en particulier, la gestion des approvisionnements indispensables au lancement de la production.

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