Le taux de rendement actuariel

Définition du taux de rendement actuariel

Le taux nominal, appelé aussi taux facial, permet de calculer la rémunération (fixe ou variable) qui est versée à l’obligataire (prêteur). Cette rémunération se calcule par application du taux nominal à la valeur nominale. D’autres éléments peuvent intervenir et majorer ou minorer le rendement du placement : les primes de remboursement, les frais divers, les décalages de paiement des intérêts, etc.

Le taux de rendement actuariel à la date t est le taux qui égalise les décaissements actualisés et les encaissements actualisés liés au titre, du point de vue du souscripteur.

Taux de rendement actuariel à l’émission

À l’émission, le taux de rendement actuariel est une caractéristique traditionnelle de l’emprunt puisqu’il permet de comparer plusieurs émissions dont les conditions diffèrent. Il figure
obligatoirement dans la note d’information publiée par toute société désirant procéder à une émission obligataire.

Les intérêts sont versés périodiquement et constituent des flux positifs. Il en est même pour le remboursement de l’obligation. À l’opposé, la souscription génère un flux négatif (décaissement).

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Calculer le taux de rendement d’un tel placement, consiste donc à déterminer un taux de rendement par actualisation de l’ensemble des flux positifs ou négatifs.

Il peut être représenté de la manière suivante, pour une obligation remboursable in fine (cas le plus simple et le plus courant) :

Le taux actuariel ainsi calculé correspond du point de vue du prêteur, à un taux moyen de rendement actuariel calculé sur la durée de vie de l’obligation.

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Exemple

Soit une obligation émise et remboursée au pair (100 €) au terme d’une période de 8 ans. Taux facial = 7 %.

Taux actuariel : t tel que :

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100 = 7% [(1 – (1+ t)^-8) / t] +100 (1+ t)^-8 d’où t = 7 % (égal au taux nominal).

Si l’obligation est émise en dessous du pair (98 €) et remboursée au pair (100 €) au terme d’une période de 8 ans, l’équation devient la suivante :

98 = 7% [(1 – (1+ t)^-8) / t] +100 (1+ t)^-8 d’où t = 7,34 %

On constate dans cette hypothèse, que le taux de rendement actuariel est plus élevé. Ce meilleur taux s’explique par la prime de remboursement (prix de remboursement – prix d’émission) qui vient augmenter les revenus perçus par l’obligataire, et donc augmenter son rendement.

En poussant un peu plus loin le raisonnement lié à la détention d’une obligation, on peut déterminer des taux actuariels spécifiques à des situations particulières du détenteur de la créance (obligation).

Ainsi on peut imaginer qu’il souscrive son obligation à l’émission et la conserve jusqu’à son échéance finale, qu’il achète le titre d’occasion sur le marché secondaire des obligations et le revende quelques années après, mais avant son échéance. De multiples combinaisons sont possibles.

Taux de rendement actuariel lors de l’achat

Si l’obligation n’a pas été souscrite à l’émission, mais achetée sur le marché secondaire de obligations, le prix d’achat peut s’éloigner de la valeur nominale (plus ou moins-value) indépendamment de la valeur des coupons courus.

Deux composantes peuvent faire varier le taux actuariel :

• la maturité ou durée de vie résiduelle ; en reprenant l’exemple ci-dessus, si le titre a été acheté 3 ans après son émission, la maturité n’est plus que de 5 ans (8 – 3) ;
• le prix d’achat en bourse, qui est très souvent différent du prix d’émission du titre ;
• les frais d’achat des titres (frais d’intermédiaires + TVA).L’équation du taux de rendement actuariel devient :

Px = i [(1 – (1+ t)^-z) / t ] + R (1+ t)^-z

avec Px = prix d’achat en bourse tout frais inclus et z = durée de vie résiduelle.

Taux de rendement actuariel lors de la revente

Par rapport au cas précédent, la principale différence est que la revente du titre peut se faire à un prix différent du prix de remboursement prévu à l’échéance. Ce prix de revente tient compte en principe des intérêts courus. Il faut tenir compte des frais de vente (commissions de bourse + TVA).