La prévision des ventes

La prévision des ventes est souvent le point de départ de la démarche budgétaire : tous les budgets dépendent du niveau prévisionnel de l’activité

De nombreuses techniques de prévision des ventes existent qui n’ont pas toutes les mêmes objectifs :

• les études de marché, les abonnements à des panels, les marchés tests sont des méthodes qui permettent de connaître au mieux la demande du produit et le marché potentiel de l’entreprise ;
• les méthodes d’extrapolation, des coefficients saisonniers, les interrogations de la force de vente de l’entreprise permettent, elles, de déterminer l’évolution des ventes du produit dans le futur.

Dans le cadre d’une procédure budgétaire instituée, et d’un produit en maturité, seule l’évolution des ventes dans le futur fera l’objet d’une étude. C’est pourquoi nous nous contenterons de présenter rapidement les différentes méthodes quantitatives de prévisions des ventes.

Les ajustements

Ces techniques s’appuient sur l’étude chiffrée des données caractérisant une variable économique (ici, les ventes passées du produit). La prévision sur l’état futur de la variable est obtenu par extrapolation des tendances passées mises en évidence et dont on suppose la régularité.

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L’ajustement consiste à substituer aux valeurs observées de la variable (yi) une valeur calculée (yi’) à l’aide de différents procédés qui font l’objet de ce paragraphe.

Ces procédés d’ajustement peuvent être graphiques, mécaniques ou analytiques.

Ajustement mécanique : la méthode des moyennes mobiles

Il s’agit de représenter la série statistique en substituant à la valeur observée yi, une valeur ajustée yi’ calculée de la manière suivante :

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a, b et c représentent des coefficients de pondération dont la valeur est laissée aux choix des statisticiens.

Le nombre des observations (ici 3) nécessaires pour le calcul de la valeur ajustée yi’ dépend de la périodicité du phénomène étudié.

Dans le cas d’historiques de ventes, il est fréquent de trouver des périodicités annuelles (ventes saisonnières) et donc les moyennes mobiles se calculent comme suit :

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• historique des ventes donné en trimestre (périodicité de 4)

• historique des ventes donné en mois (périodicité de 12)

Les coefficients ainsi déterminés permettent de respecter le principe suivant :

Somme des coefficients = Périodicité de la série statistique

Exemple applicatif

Soit le chiffre d’affaires d’une entreprise :

La périodicité est de 4, donc chaque valeur yi est remplacée par sa valeur ajustée, ainsi :

et ainsi de suite… On obtient le tableau suivant des valeurs ajustées.

La représentation graphique illustre le mécanisme d’ajustement :

Cette méthode écrête les phénomènes accidentels en permettant un lissage des informations observées, mais elle élimine des informations en début et en fin de série. Par ailleurs, elle ne donne pas une droite d’équation connue qui peut facilement se prêter à des prévisions. C’est pourquoi l’ajustement par la méthode des moindres carrés est préféré.

Ajustement analytique : la méthode des moindres carrés

Il s’agit de rechercher les paramètres de la fonction yi′ = f(x) qui rendent la plus faible possible la somme des carrés des distances entre la valeur observée yi de la variable et sa valeur ajustée yi

Les fonctions d’ajustement peuvent être extrêmement variées. Dans notre cas, nous présenterons les fonctions les plus habituelles au cycle de vie d’un produit :

CYCLE DE VIE ET FONCTION D’AJUSTEMENT

Nous nous contenterons de rappeler ici les principaux résultats :

Ajustement par une droite affine y = ax + b

L’objectif est d’obtenir une droite y = ax + b telle que la somme des carrés des écarts entre la droite et les différents points représentatifs de la série statistique soit minimale.

On démontre que :

avec cov(x, y) est la covariance de x et y et x² la variance de x.

Ces données sont maintenant obtenues sans difficultés par de nombreuses calculettes à fonctions statistiques.

Exemple applicatif

Soit les ventes d’une entreprise en fonction du temps :

Temps (x)	2	3	4	5	6
Ventes (y)(en milliers d’euros)	7	10	15	18	23

On obtient facilement, à l’aide d’une calculette :

a = 3,4 et b = 0,4

comme x̄ = 4 et ȳ = 14, alors b = ȳ – a x̄ = 14 – (3,4 × 4 ) = 0,4

La droite obtenue a pour équation y ’ = 3,4 x + 0,4

Les prévisions de ventes se présentent comme suit :

x = 7 ⇒ y7’ = 3,4 × 7 + 0,4 = 24,2

x = 8 ⇒ y8’ = 3,4 × 8 + 0,4 = 27,6

Ajustement par une fonction exponentielle

L’évolution de l’activité peut ne pas être régulière : elle peut par exemple s’accélérer en période de lancement, de démarrage des activités. Par exemple, quand on lance un nouveau produit, en cas de succès la croissance peut être exponentielle pendant quelque temps, ce que l’on peut diagnostiquer en constatant des accroissements en progression non pas arithmétique, mais géométrique. Il faut alors une régression non pas linéaire, mais exponentielle.

Le schéma suivant illustre une tendance exponentielle croissante :

Le nuage de points s’ajuste par une fonction : y = a^x × b que l’on peut écrire également y = e^ln(a).x × b ou y = b × e^c.x

Pour déterminer la fonction qui ajuste le nuage de points, il faut se ramener à un ajustement linéaire en utilisant les propriétés des logarithmes.

ln y = ln (a^x × b)

ln y = ln a^x + ln b

ln y = x ln a + ln b

Posons Y = ln y ; A = ln a ; B = ln b

Les changements de variables donnent Y = Ax + B

Il est alors possible de calculer A et B par un ajustement linéaire des couples (xi, ln yi).

Dans un second temps, il faudra déterminer a et b à partir de A et B :

A = ln a d’où a = exp A

B = ln b d’où b = exp B

Remarque

Calculatrice : Quand la fonction ajustement exponentiel est intégrée dans la calculatrice, il ne faut pas saisir les couples (xi, ln yi), mais les couples (xi, yi).

Exemple applicatif

Les dirigeants d’une entreprise souhaitent déterminer l’évolution du nombre de produits vendus en fonction des années et prévoir les ventes de N+1.

Les volumes vendus sont les suivants :

Années	N – 8	N–7	N–6	N–5	N–4	N–3	N–2	N–1	N
Nombre de produits	45 000	54 000	65 000	80 000	100 000	125 000	155 000	195 000	255 000

Remarque :

Le choix de l’échelle est important. La même série peut sembler linéaire sur le graphique ci-après.

L’étude des taux de croissance de la variable y permet de vérifier la tendance exponentielle du volume des ventes :

Années	N – 8	N–7	N–6	N–5	N–4	N–3	N–2	N–1	N
Nombre de produits	45 000	54 000	65 000	80 000	100 000	125 000	155 000	195 000	255 000
Taux de croissance	–	20 %	23,37 %	23,07 %	25 %	25 %	24 %	25,8 %	30,77 %

Le nombre de produits est en progression géométrique : les ventes d’une année sont obtenues en multipliant celles de l’année qui précède par un coefficient à peu près constant.

Si la calculatrice possède le mode « ajustement exponentiel », il faut saisir les couples (1 ; 45 000), (2 ; 54 000) … (9 ; 255 000). On obtient alors :

y = 1,241^x × 34 667,109

Le volume des ventes prévisionnelles de N+1 est obtenu en remplaçant x par 10 :

y(10) = 1,241¹⁰ × 34 667,109 = 300 355

Si la calculatrice ne possède pas la fonction « ajustement exponentiel ». Il convient de passer par les logarithmes de la variable y :

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yi	45 000	54 000	65 000	80 000	100 000	125 000	155 000	195 000	255 000
Yi = ln yi	10,714	10,897	11,082	11,290	11,513	11,736	11,951	12,181	12,449

Pour déterminer la fonction d’ajustement exponentiel, il convient dans un premier temps de saisir les couples (1 ; 10,714), (2 ; 10,897) … (9 ; 12,449).

L’exploitation de la calculatrice permet alors d’obtenir :

A = 0,2162

B = 10,4535

Dans un second temps, il convient de rechercher a et b :

A = 0,2162 d’où a = e^0,2162 = 1,241

B = 10,4535 d’où b = e^10,4535 = 34 667,109

Ajustement par une fonction puissance

La fonction est de la forme y′ = B . x^a. Elle peut être transformée de la manière suivante :

Log y ′ = Log B + a . Log x

Y = b + a . X

On calcule a et b à l’aide des formules précédentes en travaillant sur les logarithmes de xi et de yi.

Ainsi, la méthode des moindres carrés pour une fonction déterminée assure l’ajustement le meilleur, dans le sens où elle minimise le carré des distances entre les valeurs observées et celles ajustées.

Mais, comment connaître la fonction qui assure le meilleur ajustement pour une série statistique ?

• la forme du nuage de points doit guider le choix d’une fonction définie ;
• si le doute persiste, il faut, pour chaque fonction d’ajustement retenue, calculer le carré des résidus qui se définit comme :

et choisir la fonction pour laquelle cette expression est minimum.

Les représentations graphiques

Le premier type de représentation graphique consiste à tracer l’évolution des ventes (y) dans le temps (x).

Ce type de graphe, le plus courant, permet de mettre en évidence des fluctuations autour d’une évolution (croissante dans la figure ci-avant) dénommée « tendance ».

Lorsque les fluctuations ne sont pas aléatoires, mais se répètent à un rythme régulier, il est possible de faire apparaître cette régularité de manière plus évidente en représentant chaque période (par exemple l’année) par une série distincte.

La figure ci-après représente ainsi les ventes sur quatre périodes (elles-mêmes divisées en quatre sous-périodes : les trimestres). Chaque période (par exemple l’année) est représentée par une courbe différente. En abscisse ne figurent que les 4 trimestres.

La figure ci-avant montre de manière évidente que les ventes augmentent toujours lors du premier trimestre, quelle que soit l’année, puis diminuent lors du second trimestre, puis augmentent au troisième trimestre, et diminuent encore au quatrième trimestre.

On observe sur une seule courbe une baisse très faible lors du second trimestre. Cette situation est inhabituelle, et peut être considérée comme un aléa.

Les trois composantes d’une série chronologique avec variations saisonnières permettent de distinguer deux modèles :

Modèle additif

Modèle multiplicatif

Lorsque les ventes présentent des aléas, ou des fluctuations saisonnières, prévoir les ventes futures est plus délicat puisque les modèles de régression traditionnels ne sont pertinents que lorsque l’évolution des ventes suit une tendance constante. Pour effectuer des prévisions, il faut décomposer l’analyse en trois temps.

Dans un premier temps, on doit retirer les fluctuations de la série observée. On parle de « désaisonnaliser » les ventes. Dans un deuxième temps, la série désaisonnalisée permet de mettre en évidence une tendance à long terme (régression « classique »). Dans un troisième temps, la tendance permet de faire des prévisions, qui doivent être ajustées pour tenir compte de l’effet de saisonnalité via un coefficient saisonnier.

Attention

Les ajustements ne fournissent pas de bons résultats si les séries sont trop petites. Par ailleurs, il peut être dangereux de ne se fier qu’à la valeur du R² pour juger de la pertinence d’un ajustement. Il y a toujours une part d’interprétation, et donc d’arbitraire dans le choix d’un ajustement. Tracer la série sur un graphe est souvent le meilleur moyen de former son jugement.

Les séries chronologiques

Une série chronologique est une série statistique représentant l’évolution d’une variable économique en fonction du temps.

Ce type de série est donc utilisé fréquemment dans les prévisions des ventes car ce sont des données statistiques faciles à obtenir.

Composantes d’une série chronologique

Elles sont au nombre de quatre.

• La tendance à long terme ou trend notée T ; il exprime la tendance du phénomène sur le long terme.
• Le mouvement cyclique noté C ; il exprime les fluctuations liées à la succession des phases des cycles économiques ou conjoncture. Il est fréquemment regroupé avec le trend dans un mouvement global qualifié d’extra-saisonnier et noté C.
• Les variations saisonnières notées S. Ce sont des fluctuations périodiques qui se superposent au mouvement cyclique et dont les causes sont multiples : congés annuels, phénomènes de mode de vie, facteurs climatiques, etc. Elles obligent au calcul de coefficients saisonniers.
• Les variations résiduelles ou accidentelles notées E. Ce sont des variations de faible amplitude imprévisibles telles que des grèves, des accidents…

Méthodes de calcul des coefficients saisonniers

Il existe deux méthodes de calcul des coefficients saisonniers, mais nous ne présenterons que celle qui est la plus utilisée : la méthode des rapports au trend.

Méthodologie

• Déterminer la droite des moindres carrés qui ajuste la série chronologique.
• Calculer les valeurs ajustées yi′ grâce à l’équation précédente.
• Faire le rapport entre la valeur yi réellement observée et la valeur yi′ ajustée et ce, pour chaque observation.
• Prendre, pour chaque période (mois ou trimestre), le rapport moyen qui sera considéré comme le coefficient saisonnier de la période.

Exemple applicatif

Reprenons la série suivante :

Le calcul des paramètres de la droite donne :

a = 35,5882

b = 1 066,25

Les valeurs ajustées par cette équation sont données dans le tableau suivant (arrondies au centième le plus proche) :

Les rapports entre valeur réelle et valeur ajustée sont donnés dans le tableau suivant (arrondis à quatre chiffres) :

Prévisions des ventes

La prévision qui peut être faite est fondée :

• d’une part sur l’hypothèse que les années à venir connaîtront la même tendance générale que les années passées ;
• d’autre part, sur un calcul correct des coefficients saisonniers périodiques.

Méthodologie

• L’équation générale du mouvement extra-saisonnier est utilisée pour prévoir la tendance à long terme des quatre prochains trimestres.

Pour rappel, l’équation est la suivante : y ′ = 35,5882x + 1066,25

Dans notre exemple, les valeurs de y ′ seront calculées pour x égal à 17, 18, 19 et 20.

• Des coefficients saisonniers sont appliqués aux valeurs trouvées pour tenir compte des fluctuations saisonnières.

Exemple applicatif

Établissons les prévisions de ventes de l’année 5 :

L’étude des séries chronologiques donne la même importance aux observations quelle que soit leur ancienneté. Dans un environnement incertain et changeant, cela revient à donner un poids considérable au passé. Pour s’opposer à cette tendance, certains gestionnaires préfèrent utiliser une autre méthode : le lissage exponentiel.

Le lissage exponentiel

Cette méthode de prévision calcule, de fait, une moyenne des observations passées mais en les pondérant. Les observations ont un poids décroissant en fonction de leur ancienneté.

Pour une période donnée t, la prévision des ventes est calculée selon la formule suivante :

Yt = α y_{t − 1} + (1 − α) Y_{t − 1}

avec : Yt : prévision de la période t ;

y_{t – 1} : observation de la période précédente ;

Y_{t – 1} : prévision de la période précédente ;

α : coefficient de pondération compris entre 0 et 1.

Avec un raisonnement par récurrence, on démontre facilement que Yt est une moyenne de toutes les observations passées, pondérée par des coefficients décroissants avec le temps.

Y_t = α y_{t – 1} + α (1 – α) y_{t – 2} + α (1 – α)² y_{t – 3} + … + α (1 – α)^{n – 1} y_{t – n + 1} + α (1 – α)ⁿ Y_{t – n}

À la vue de cette formule, deux réserves sont à formuler :

Sur la valeur du coefficient α

Plus celui-ci est élevé, plus vite les informations passées perdent de leur importance ainsi :

– pour α = 0,4 on a (1 − α)⁴ = 0,1296 ;

– pour α = 0,8 on a (1 − α)⁴ = 0,0016.

La valeur du coefficient est donc primordiale pour la validité de la prévision. Seuls des essais sur α permettent de déterminer par la méthode des résidus la valeur qui « colle » le mieux à la série envisagée.

Sur la prévision initiale

En pratique, elle est négligée car son poids devient vite faible dans le lissage.

Exemple : avec un coefficient de 0,6, au bout de quatre périodes, la prévision initiale pèse moins de 3% dans la prévision [(1 − α)⁴ = 0,0256)].

Exemple applicatif

Soit la série suivante :

1	2	3	4	5	6
570	550	560	570	560	565

En retenant un coefficient de 0,8, on obtient :

Y₂ = 0,8 (570) + (1 − 0,8) 570 = 570

Y₃ = 0,8 (550) + 0,2 (570) = 554

Y₄ = 0,8 (560) + 0,2 (554) = 558,8

Y₅ = 0,8 (570) + 0,2 (558,8) = 567,76

Y₆ = 0,8 (560) + 0,2 (567,76) = 561,55

et donc en prévision pour la période 7 :

Y7 = 0,8 (565) + 0,2 (561,55) = 564,31

Dans la logique de la gestion budgétaire, la phase de prévision des ventes terminée et validée, l’étape suivante peut être commencée :

– vérifier la cohérence des prévisions de ventes avec les possibilités de production ;

– déployer, en termes de gestion de production et jusqu’au niveau des ateliers, les choix quantitatifs prévisionnels.

Exercices corrigés sur la prévision des ventes

l’unique but de ces exercices corrigés est de vous aider à progresser sur le chapitre de la gestion des ventes à l’aide d’exercices corrigés de la matière contrôle de gestion.

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