la méthode des moindres carrés : principes et exemples applicatifs

La tendance est linéaire lorsque la progression des ventes (y) augmente d’un nombre sensiblement égal par période (x).

la méthode des moindres carrés s’agit de rechercher les paramètres de la fonction yi′ = f(x) qui rendent la plus faible possible la somme des carrés des distances entre la valeur observée yi de la variable et sa valeur ajustée yi

Les fonctions d’ajustement peuvent être extrêmement variées. Dans notre cas, nous présenterons les fonctions les plus habituelles au cycle de vie d’un produit :

CYCLE DE VIE ET FONCTION D’AJUSTEMENT

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Nous nous contenterons de rappeler ici les principaux résultats :

Ajustement par une droite affine y = ax + b

L’objectif est d’obtenir une droite y = ax + b telle que la somme des carrés des écarts entre la droite et les différents points représentatifs de la série statistique soit minimale.

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On démontre que :

avec cov(x, y) est la covariance de x et y et x² la variance de x.

Ces données sont maintenant obtenues sans difficultés par de nombreuses calculettes à fonctions statistiques.

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Exemple applicatif

Soit les ventes d’une entreprise en fonction du temps :

Temps (x)	2	3	4	5	6
Ventes (y)(en milliers d’euros)	7	10	15	18	23

On obtient facilement, à l’aide d’une calculette :

a = 3,4 et b = 0,4

comme x̄ = 4 et ȳ = 14, alors b = ȳ – a x̄ = 14 – (3,4 × 4 ) = 0,4

La droite obtenue a pour équation y ’ = 3,4 x + 0,4

Les prévisions de ventes se présentent comme suit :

x = 7 ⇒ y7’ = 3,4 × 7 + 0,4 = 24,2

x = 8 ⇒ y8’ = 3,4 × 8 + 0,4 = 27,6

Ajustement par une fonction exponentielle

L’évolution de l’activité peut ne pas être régulière : elle peut par exemple s’accélérer en période de lancement, de démarrage des activités. Par exemple, quand on lance un nouveau produit, en cas de succès la croissance peut être exponentielle pendant quelque temps, ce que l’on peut diagnostiquer en constatant des accroissements en progression non pas arithmétique, mais géométrique. Il faut alors une régression non pas linéaire, mais exponentielle.

Le schéma suivant illustre une tendance exponentielle croissante :

Le nuage de points s’ajuste par une fonction : y = a^x × b que l’on peut écrire également y = e^ln(a).x × b ou y = b × e^c.x

Pour déterminer la fonction qui ajuste le nuage de points, il faut se ramener à un ajustement linéaire en utilisant les propriétés des logarithmes.

ln y = ln (a^x × b)

ln y = ln a^x + ln b

ln y = x ln a + ln b

Posons Y = ln y ; A = ln a ; B = ln b

Les changements de variables donnent Y = Ax + B

Il est alors possible de calculer A et B par un ajustement linéaire des couples (xi, ln yi).

Dans un second temps, il faudra déterminer a et b à partir de A et B :

A = ln a d’où a = exp A

B = ln b d’où b = exp B

Remarque

Calculatrice : Quand la fonction ajustement exponentiel est intégrée dans la calculatrice, il ne faut pas saisir les couples (xi, ln yi), mais les couples (xi, yi).

Exemple applicatif

Les dirigeants d’une entreprise souhaitent déterminer l’évolution du nombre de produits vendus en fonction des années et prévoir les ventes de N+1.

Les volumes vendus sont les suivants :

Années	N – 8	N–7	N–6	N–5	N–4	N–3	N–2	N–1	N
Nombre de produits	45 000	54 000	65 000	80 000	100 000	125 000	155 000	195 000	255 000

Remarque :

Le choix de l’échelle est important. La même série peut sembler linéaire sur le graphique ci-après.

L’étude des taux de croissance de la variable y permet de vérifier la tendance exponentielle du volume des ventes :

Années	N – 8	N–7	N–6	N–5	N–4	N–3	N–2	N–1	N
Nombre de produits	45 000	54 000	65 000	80 000	100 000	125 000	155 000	195 000	255 000
Taux de croissance	–	20 %	23,37 %	23,07 %	25 %	25 %	24 %	25,8 %	30,77 %

Le nombre de produits est en progression géométrique : les ventes d’une année sont obtenues en multipliant celles de l’année qui précède par un coefficient à peu près constant.

Si la calculatrice possède le mode « ajustement exponentiel », il faut saisir les couples (1 ; 45 000), (2 ; 54 000) … (9 ; 255 000). On obtient alors :

y = 1,241^x × 34 667,109

Le volume des ventes prévisionnelles de N+1 est obtenu en remplaçant x par 10 :

y(10) = 1,241¹⁰ × 34 667,109 = 300 355

Si la calculatrice ne possède pas la fonction « ajustement exponentiel ». Il convient de passer par les logarithmes de la variable y :

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yi	45 000	54 000	65 000	80 000	100 000	125 000	155 000	195 000	255 000
Yi = ln yi	10,714	10,897	11,082	11,290	11,513	11,736	11,951	12,181	12,449

Pour déterminer la fonction d’ajustement exponentiel, il convient dans un premier temps de saisir les couples (1 ; 10,714), (2 ; 10,897) … (9 ; 12,449).

L’exploitation de la calculatrice permet alors d’obtenir :

A = 0,2162

B = 10,4535

Dans un second temps, il convient de rechercher a et b :

A = 0,2162 d’où a = e^0,2162 = 1,241

B = 10,4535 d’où b = e^10,4535 = 34 667,109

Ajustement par une fonction puissance

La fonction est de la forme y′ = B . x^a. Elle peut être transformée de la manière suivante :

Log y ′ = Log B + a . Log x

Y = b + a . X

On calcule a et b à l’aide des formules précédentes en travaillant sur les logarithmes de xi et de yi.

Ainsi, la méthode des moindres carrés pour une fonction déterminée assure l’ajustement le meilleur, dans le sens où elle minimise le carré des distances entre les valeurs observées et celles ajustées.

Mais, comment connaître la fonction qui assure le meilleur ajustement pour une série statistique ?

• la forme du nuage de points doit guider le choix d’une fonction définie ;
• si le doute persiste, il faut, pour chaque fonction d’ajustement retenue, calculer le carré des résidus qui se définit comme :

et choisir la fonction pour laquelle cette expression est minimum.