La loi de Bernoulli intervient dans le cas d’une seule expérience aléatoire à laquelle on associe un événement aléatoire quelconque.
La réalisation de l’événement au cours de cette expérience est appelée succès et la probabilité de réalisation est dite probabilité de succès, désignée par p. Par contre la non-réalisation de
l’événement est appelée échec et la probabilité de non-réalisation est dite probabilité d’échec,
désignée par q.
q = 1 – p
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La variable aléatoire X qui caractérise le nombre de succès au cours d’une seule expérience aléatoire est appelée variable de Bernoulli, elle prend les valeurs entières 0 et 1 avec les
probabilités respectives q et p.
Loi de probabilité d’une variable Bernoulli
| x | p(x) |
| 0 1 | q p |
| Total | 1 |
Les caractéristiques d’une variable de Bernoulli sont :
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- Espérance mathématique
E(X) = Σ xp(x) = 0 × q + 1 × p = p
- Variance
E(X²) = Σ x² p(x) = 02 × q + 12 × p = p
V(X) = E(X2) – E(X)² = p – p2 = p (1 – p) = pq
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Remarque : La V(X) ≤ 1/4
- Exemple : loi de bernoulli
On lance une pièce de monnaie une seule fois. Soit X la variable aléatoire qui caractérise le
nombre de piles obtenues. X est une variable de Bernoulli, elle prend les valeurs entières 0 et
1 avec la probabilité constante 0,5.
Loi de probabilité de X
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| x | p(x) |
| 0 1 | 0,5 0,5 |
| Total | 1 |
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